Matemáticas, Universos

Sucesión de Fibonacci

Puede que hayas oído hablar ya de la sucesión de Fibonacci, que te suene eso de la proporción áurea de algún cuadro o alguna cara bonita, pero ¿sabías que aparece de forma recurrente en la naturaleza o que guarda una estrecha relación con el número φ?

¿De dónde surge sucesión de Fibonacci?

Primero de todo conozcamos a la persona que lo difundió en occidente: Leonardo de Pisa (ya te pensabas que se llamaba Fibonacci ¿eh?. He aquí uno de los pocos matemáticos originales).  El nombre surgió a raíz del apodo que heredó de su padre. Lo llamaban Bonacci (el bien intencionado) y tras su muerte su hijo fue conocido como Fibonacci (filius hijo de Bonacci).

¿Y en qué consiste esta sucesión? Pues es más sencilla de lo que podrías pensar. La serie se obtiene de la suma de los dos números anteriores iniciando la secuencia con el 1. Es decir quedaría determinado de la siguiente forma:

f_{n}= f_{n-1} +f_{n-2}

Considerando como valores predeterminados ƒ0 = 0 y ƒ1 = 1, quedaría la sucesión tal que así:

1 – 1 – 2 – 3 – 5 – 8 – 13 – 21 – 34 – 55 – 89 -144…

Fibonacci y los conejos

El origen de la sucesión es cuanto menos curiosa ya que se trata de la solución a un problema en la cría de conejos:

Consideremos una familia de conejos con la característica de que tardan un mes en ser fértiles. Cuando han alcanzado la fertilidad, cada pareja se aparea teniendo al mes siguiente (cada hembra) una pareja de crías (un macho y una hembra) que de nuevo tardarán en ser fértiles un mes y entonces se aparearán. ¿Cuántas parejas de conejos habrá al cabo de un tiempo dado, por ejemplo, un año?

Conejos mostrando la Sucesión de Fibonacci

Como vemos, la primera línea paternal tendrá dos hijos (azules). En la siguiente generación, se reproducirá la línea filial (azul) para original la segunda línea filial (rojo). Y así sucesivamente aumentando según lo descrito por Leonardo de Pisa.

Pero no solo se utiliza para saber cuántos conejos tendremos después de un tiempo determinado, si no que también lo encontramos, como adelantábamos antes, en la naturaleza. Cuando creamos cuadrados con esas dimensiones conseguimos algo similar a esto:

 

Matemáticas, naturaleza y mucho más…

Seguro que la figura os sonará de haberla visto en infinidad de objetos y elementos. De hecho, no solo es importante en las matemáticas, como veremos más adelante, si no que juega un papel fundamental en otras ramas del conocimiento como en  la botánica, concretamente en la filotaxis que estudia la morfología de las plantas. Si no, también puedes mirarte a ti mismo y encontrar la relación: tienes… dos manos, con 5 dedos cada una y cada dedo está dividido en 3 secciones, ¿casualidad?

Y justo aquí es donde la naturaleza, el arte y las matemáticas se fusionan.

El número áureo, φ (phi), surge de la siguiente relación en una recta:

Por lo que:

Hacemos factor común:

Lo dejamos en función de φ:

Que despejando nos quedaría una ecuación de 2º grado tal que así:

Que resolviéndola con la maravillosa formulita “menos b mas, menos, raíz cuadrada de b cuadrado menos 4 por a por c bla bla bla” nos daría como solución positiva:

La relación que existe entre el número de oro y la sucesión de Fibonacci, es que se acercan de manera asintótica al número áureo si dividimos dos números consecutivos de la sucesión, tal que:

Conforme vamos avanzando en la sucesión, podemos ver que la aproximación es mayor:

 

Para cerrar el post, os dejamos con la gran charla de Arthur Benjamin en TED. En ella desvela otros muchos secretos de la sucesión de Fibonacci con ejemplos muy ilustrativos.

1 thought on “Sucesión de Fibonacci

Deja un comentario

Tu dirección de correo electrónico no será publicada. Los campos obligatorios están marcados con *